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Escher艾薛爾的藝數新視界 首部曲

 

當您行走在台北市東區的繁華街道上,可曾發現一組大型的藝術雕塑「城市候鳥」(圖一)?這個坐落在忠孝東路與松仁路交叉口旁的公共藝術,造型簡單而別致,頗有鬧中取靜的意味。
(圖一)坐落在台北市東區的公共藝術「城市候鳥」(蔡政維,2002,銅,8 ×0.75 ×3 m)。
 
藝數創作無國界
細觀「城市候鳥」的造型,中央是豆腐狀的長方體結構,越往兩邊,動感越大,最後變成飛鳥。類似的創作點子亦見於荷蘭版畫藝術家艾薛爾(M. C. Escher,1898-1972)的作品〈晝夜〉(圖二),原本形如棋盤狀交替的田野,漸上漸遠地演變成剪影般鑲嵌的黑鳥與白鳥。
 
(圖二)〈晝夜〉(Day and Night193839 ×68 cm,攝自拼圖)。
 
然而,同一幅畫,若改從水平方向來觀察,卻又是另一番情景:白晝和夜晚的大片天地也可以是黑鳥與白鳥的變化源頭。特別的是,原本左右對稱的屋舍與河川,在田野與飛鳥的擾動下,「對稱軸」消失了,因此,〈晝夜〉若改以「國際換日線」為名,相信會更有味道。
 
平面立體常相隨
除了平面的轉變,艾薛爾還喜歡突顯3D與2D的構圖,以圖三為例,一位手足舞蹈的少年正從屋內延著階梯下樓,跑著跑著,週遭的建築物與階梯慢慢地從立體的透視結構轉變成平面的菱形,而少年的身體也漸漸淡化,最後只剩下輪廓消失在地板上。另從艾薛爾給這幅創作的命名〈循環〉可知:這些平面的鑲嵌圖案隨後又會在另一端化整為「菱」,最後又再次「形」成立體。
 
(圖三)循環Cycle193847.5 ×28 cm,攝自拼圖)。
 
艾薛爾如此豐富的想像力或許源自對球鏡世界的觀察(圖四),他認為:透過這顆球鏡,可以藉此看到更加完整的週遭景象,幾乎所有圍繞在四周的空間,包括牆壁、地板與天花板,雖然有點扭曲,但卻都全被壓縮在這個小圓球上。不知讀者是否也曾有過類似的異想經驗?欣賞玩味之餘,一個問題想一想:艾薛爾手上那顆球鏡的球心在哪裡?(解答詳見本刊第?頁)
 
(圖四)手、球鏡與我Hand with Reflecting Sphere193532 ×21.5 cm,攝自拼圖)。
 
關於鋪滿平面的「變形」與「鑲嵌」的藝術創作,艾薛爾在巨幅的〈變形〉(Metamorphose,1968,19.5 ×700 cm)中另有更為全面的表現。如欲一飽眼福,可直接到艾薛爾的官方網站http://www.mcescher.com/ 查詢瀏覽。
鋪滿平面外一章
讚賞完艾薛爾的巧思,讓我們回到「正多邊形鋪滿平面」的原始起點。假設有一顆符合數學上「球」的定義的完美星球,星球上沒有高山,也沒有深谷,只有一望無際的「平地」。現在想像用同一種正多邊形的地磚來鋪滿這顆星球,其結果只有圖五所列的三種,以下分別以符號T、S、H表示。算算看,這些由無限多個小地磚所鋪成的「柏拉圖球體」的點、線、面的數量關係為何?(解答詳見本刊第?頁)
 
                    
(圖五)用同一種正多邊形鋪滿理想星球的三種「柏拉圖球體」示意圖。
 
球體截角變變變
若將多面體的截角規則套用在柏拉圖球體上,也能切割出數種「阿基米得球體」(圖六):
(1)T截小角得T‧1;T截大角得T‧2。
(2)S截小角得S‧1;S截大角得S‧2。
(3)H截小角得H‧1;H截大角得H‧2。
 
                    
(圖六)從三種「柏拉圖球體」依截角規則所得的「阿基米得球體」示意圖。
 
仔細比較上述結果,便可發現T‧1=H、S‧2=S、H‧2=T‧2。日常生活中,還有很多鋪地磚的其他組合,記得多觀察、多紀錄,至於那些阿基米得球體點、線、面的數量關係,閒來還請掐指算一算囉!(解答詳見本刊第?頁)
 
 
比你想像多更多
認識了鋪地磚的遊戲規則之後,再回頭來欣賞「城市候鳥」這個藝術擺設,創作者分享的設計靈感如下:
「城市」是人類因文明與所需的經濟活動,而聚集產生的集合名詞,正因如此,在這個名詞之內游移的小單位(人),大都來自四方,像足了一群飛入城市的候鳥。「你我=候鳥?」
問號的背後可以有很多想法,你我或許都將短暫停留,但是,只要用心經營,再加點創意,剩下的,就如同圖七背景的廣告所言:「美麗境界」「比你想像多更多」,許個未來,讓夢想起飛!
(圖七)「城市候鳥」的創作意境和想像空間,恰與出現在背景廣告上的字眼相映成趣。
                          
                                            
                                        本文首載於遠哲科學教育基金會 發現月刊第92期<魔數專欄> 93.4.1

 
【解答】
(一)從光的反射原理可推知:球心就在畫中艾薛爾的兩眼中間。對此,艾薛爾還表達了藝術家的另類感受:不論手將球鏡如何旋轉,鏡中的我都還是在中心點。『自我』正是心靈世界裡不可動搖的核心!
 
(二)先觀察T、S、H的組成規律:T、S、H的頂點分別是六合一、四合一、三合一,而邊線都是二合一。若假設T、S、H的F=n,則在鋪地磚「前」、「後」的V、E數如下,其「尤拉公式」皆可歸納為V-E+F=0。
(1)    T前之V=3n、E=3n。T後之V=3 n ÷6、E=3n ÷2。
(2)    S前之V=4n、E=4n。S後之V=4n ÷4、E=4n ÷2。
(3)    H前之V=6n、E=6n。H後之V=6n ÷3、E=6n ÷2。
 
(三)若延用(二)中「F=n」的假設,則各種柏拉圖立體截角後的V、E、F計算如下,其「尤拉公式」亦可歸納同上。
(1)    T‧1之F=n+0.5n、E=1.5n ×6 ÷2、V=n ×6 ÷2=0.5 n ×6。
(2)    T‧2之F=n+0.5n、E=n ×3=0.5n ×6、V=n ×3 ÷2=0.5n ×6 ÷2。
(3)    S‧1之F=n+n、E=(n ×4+n ×8)÷2、V=n ×4=n ×8 ÷2。
(4)    S‧2之F=n+n、E=n ×4、V=n ×4 ÷2。
(5)    H‧1之F=n+2n、E=(n ×12+2n ×3)÷2、V=n ×12 ÷2=2n ×3。
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