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Escher「艾薛爾的『藝數』新視界」三部曲

 在多面體的世界中,正立方體是大家都不陌生的造型,然而,即使是最熟悉的事物,只需花點巧思,照樣可以有豐富的藝「數」展現。就讓正立方體帶你欣賞立體幻化的美妙世界。
 
名不「正」、言不順?
關於正立方體的名稱,有人叫「立方體」,也有人稱「正方體」,即使是英文,也有cubesix-sided bodyhexahedron(正六面體)等不同的稱呼。若真的要錙銖必較,則「立方體」一詞或許源自其體積的計算(邊長的「立方」),而「正方體」一詞應該來自平面的正方「形」。不過,兩種稱呼也可能都是全名「正立方體」的簡稱。總之,不論是否有具體的意像連結,在名稱上,其實都無須庸人自擾,因為「攏ㄟ通」!
 
公共藝術cubecubecube
正立方體簡單卻不失美感,因此,常常成為藝術創作的題材。在台北市忠孝東路四段的社區公園裡,可見魔術方塊般的庭園佈置(圖一),至於宜蘭冬山河的馬賽克涼亭(圖二),造型新穎的設計靈感,想必亦出自正立方體的點、線、面。
(圖一)春光公園的景觀設計 
            
          (圖二)親水公園的涼亭頂蓋

來到國外,前衛的正立方體分子模型,也可以是1958年,在比利時首都布魯塞爾舉辦的世界博覽會的大地標(圖片請上網查詢「原子球塔」),至於建築師設計建造的方塊屋社區(圖三),還可搖身變成荷蘭鹿特丹的觀光勝地。欣賞之餘,讀者或已發現種種設計的共通「點」,就是擺脫方方正正的穩定感,改以頂點來立足,秀出正立方體那種不穩定的動態美。
 
 
        
(圖三)Cubic House翻拍自成龍電影《我是誰》)

三合一立方體
除了常見的以特殊角度秀出正立方體的美感,在艾薛爾的〈瀑布〉作品中,還可發現正立方體的複合之美(圖四)。究竟該立體所包含的三個正立方體在哪兒?讀者可循圖五的脈絡欣賞之。圖六是該立體其他角度的呈現,有興趣,不妨挑戰其展開圖,透過DIY,將之跳脫2D,躍然紙上(解答詳見本刊第?版)。完成後,記得與圖七的花燈造型一同觀察,比較兩者的異同。(詳見解答二)
                                       
(圖四)艾薛爾〈瀑布〉版畫中出現「三合一立方體」的結構(攝自拼圖)
    
          (圖五)「三合一立方體」的嵌組圖說
(圖六)以〈瀑布〉所見的角度為基準          
(圖七)從「四合一立方體」變化而來的花燈造型

幾何與代數之美
鑑賞完正立方體的藝數之美,接下來動動腦:在圖一魔術方塊般的公共藝術中,可以看出幾個正立方體?當讀者面對這一類「數量可多可少」的問題時,在掐指數算之前,需清楚問題的對象實際包含了大中小不同邊長的立方體。如何找出一個簡化的類推系統?以下兩個熱身的小問題,請先思考。(詳見解答三)
Q1:在圖8-1a-b-c-d-e線段中,可以找出幾條線段?
Q 2:在圖8-2的棋盤方格中,可以找出幾個正方形?
 
 藝數之美不遠求
從以上一度空間的41312111、二度空間的42322212到三度空間的43332313同類型問題的剖析可知,「加起來的答案是多少」已不重要,怎麼簡化、怎麼分析的過程,以及最後猜測推廣到n度空間的4n3n2n1n的那種數學美感,相信才是啟發小朋友學習的重點。藝數之美不遠求,一切都從「簡單」開始。


                        本文首載於遠哲科學教育基金會 發現月刊第94期<魔數專欄>93.5.1
 
 

【解答】
一、若將「三合一立方體」視為「六面體」(如圖六-1),則其單一元件的展開圖如圖a,當組成圖b之後,「三合一立方體」便可一體成型。製作時,虛線往上摺(谷線),實線往下摺(山線)。                      
    
 
二、圖七的花燈造型(另參閱本刊91期〈童心「圓」賀新春(下)〉介紹的泰國主題花燈)是在「三合一立方體」的基礎上,外加一個正立方體(圖c),並將各面凹陷處填滿所得的設計,「四合一立方體」的元件及其充填體的展開圖分別如圖de,請讀者試試。
三、A1:特別注意線段a-b-c-d-e上,存在長度不同的線段:
邊長一單位的線段有a-bb-cc-dd-e四段;
邊長二單位的線段有a-cb-dc-e三段;
邊長三單位的線段有a-db-e二段;
邊長四單位的線段有a-e一段;
總共有4321段。
A2:方形或方體亦存在不同邊長的元件:
邊長一、二、三、四單位的正方形分別有16941個;
邊長一、二、三、四單位的正立方體分別有642781個。
綜合以上的結果,可感覺到如下的簡單規律:
線段:432141312111
方形:4×43×32×21×142322212
方體:4×4×4+3×3×3+2×2×2+1×1×1=43+33+23+13。            



相關文章連結:
Escher「艾薛爾的『藝數』新視界」首部曲  
Escher「艾薛爾的『藝數』新視界」二部曲  
Escher「艾薛爾的『藝數』新視界」三部曲 
Escher「艾薛爾的『藝數』新視界」四部曲  
Escher「艾薛爾的『藝數』新視界」五部曲  

『美麗星境界』名畫中的數學M.C.Escher的異想世界!

 

Escher外一章vs.藝數家
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