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Escher「艾薛爾的『藝數』新視界」四部曲

        除了第94期三部曲〈立體幻化〉介紹的「三合一立方體」,艾薛爾在其〈瀑布〉作品中,另擺設了一個造型獨特的「菱形十二星體」(圖一)。顧名思義,菱形十二星體就是從「菱形十二面體」各面凸出四角錐後所得的星體造型,究竟其妙如何,且讓本文帶您欣賞。
(圖一)艾薛爾〈瀑布〉版畫中出現的菱形十二星體(攝自拼圖)
The world of puzzle
(圖二)坊間販售的菱形十二星體puzzle
        觀察圖二各種大小、材質的菱形十二星體益智玩具,其玩法實有兩款設計,每一款的零件皆為6支。第一款的零件區分為三種,玩法與「魯班鎖」雷同,但是解法較為簡單、直接。組合前,先將三種零件依其1、2、3支的數量分成A、B、C三種(圖三),然後再依C、B、A的順序拼組零件,便可完成星體。此puzzle的設計有助於小朋友「依樣畫葫蘆」的觀察與學習。
(圖三)菱形十二星體puzzle的第一代設計:6支零件分為A、B、C三種(由下而上)

DIY親體驗
        第二款的設計源自第一款,只是將原來的A、B、C三種零件,全部都改用零件C。不過,此一構造上的改良,卻造成解答上的斷層,拼組時,必須將6支零件C分成順時針與逆時針方向的三三組合(圖四),才有辦法咬合鑲組成星體,這種天外飛來一筆的解答,或許就是puzzle的「謎人」之處。
(圖四)菱形十二星體第二代puzzle的解答關鍵:順、逆時針方向的鑲咬
本刊第?版解答處附有零件C的展開圖,由於紙張的彈性與韌度,當利用展開圖製成的6支零件C拼組第二代puzzle時,除了天外天的唯一解答,還可以用「暴力法」直接完成,此一意外解,也算是對玩家觀察能力的立即肯定。試試看,puzzle之樂讓您親體驗。
「看」出全世界
圖五是菱形十二星體三種不同角度的結構呈現,從上述的puzzle零件設計,不難察知其中包含不少「共平面」的三角形。若從結構上細分,菱形十二星體實可分割成24個四角錐,而每6個四角錐可自行組成一個正立方體,也就是說,這些四角錐的結構,就是從正方體的中心點,向各面正方形所分割出來的金字塔。因此,當把金字塔按照x軸、y軸、z軸的方向,如同積木般組合時,「共平面」的現象只要用「看」的,便可一目了然。至於金字塔上三角形的邊長比例,也請讀者多「看」幾眼囉!(詳見解答一)
(圖五)菱形十二星體的三種觀察角度
11≠2
認識了菱形十二星體的基礎元件之後,接下來將這24個金字塔三三分組,且各以每組零件的正方形兩兩相接,黏成8個「二分之一Cube」。當這8個新元件彼此以正方形面堆砌時,便可組成菱形十二星體。若再準備另外8個新元件,還可將原星體外包成一個大的立方體,此時,若與「百變方塊」的膠帶黏貼設計相搭配(詳見解答二),便可得「1+1≠2」的趣味玩具。
                                                         (圖六)「1+1≠2」的趣味設計
 
1+1≠2」內外兩套元件的黏貼結構完全一致,分開時,兩者皆可外翻成空心的大立方體,或是內翻成菱形十二星體。所謂「1+1≠2」的趣味在於:先秀出一加一兩個空心的大立方體,然後將其一內翻成星體後,包入另一個空心的大立方體(圖六),結果就是不等於二,而當內外兩套元件不分開時,便是一個「百變方塊」。解答處附有「二分之一Cube」的展開圖,顛覆真理的巧妙與樂趣,等您動手DIY!

IQEQ run一「夏」
        菱形十二星體的零件既與立方體有關,其填滿空間的組合設計便不難處理,坊間還可見其繁複的玩家級puzzle變化(圖七)。保險的玩法是安排攝影機,將拆解步驟一步步拍攝存檔,然後才自行挑戰組合,免得萬一組裝不成時,只剩下一堆廉價的木條。至於玩法相同,僅是造型經過延伸變化的puzzle設計(圖八),其結構就請讀者多多觀察囉!(詳見解答三)
動動眼、動動腦 & 動動手,就讓今年暑假Math一「夏」吧!
(圖七)菱形十二星體puzzle的玩家級的變化
(圖八)菱形十二星體第二代puzzle(右)與其「換湯不換藥」的造型變化(左)
 
 
 
                                                          本文首載於遠哲科學教育基金會 發現月刊第95期<魔數專欄>93.7.1
 
 
 
【解答】
一、該三角形為等腰三角形,「底」為正立方體的邊長,「腰」為正立方體對角線長的一半,因此,金字塔上三角形的邊長比為2:
二、有關百變方塊與菱形十二面體的介紹,可參閱本刊第56、68期〈童玩D I Y〉之系列文章。若將百變方塊的正面與其上、下、左、右各面同時展開在同一平面上,則其膠帶的黏貼位置如圖a的橢圓形位置所示。
 
三、該puzzle的零件是將原來共平面的三角形再擴充延伸,最後形成角柱的結構。
 
  
                                      附圖一、零件C的展開圖                 附圖二、「1+1≠2」單元零件的展開圖
 
 
【「1+1≠2」另一簡便的DIY步驟】
(1)    製作完成16個零件(參考附圖二)。
(2)    先取8個零件,每4個零件各排成半顆星體。
(3)    將排好的兩組半顆星體併排平放在桌面上(圖b)。
(4)    剪好8段膠帶(膠帶長度≦正方形邊長)。
(5)    依圖c箭頭所示的對應位置分別將零件兩兩黏貼。
(6)    將另外8個零件依步驟(2)至(5)複製(The End)。
 【DIY小叮嚀】
(1)    實線(山線)往下摺、虛線(谷線)往上摺。
(2)    黏貼膠帶時,各零件之間宜保留適當的空隙作緩衝,以便翻轉順暢。
(3)    黏貼邊的正反兩面都應貼上膠帶,方能牢固耐玩。


相關文章連結:
Escher「艾薛爾的『藝數』新視界」首部曲  
Escher「艾薛爾的『藝數』新視界」二部曲  
Escher「艾薛爾的『藝數』新視界」三部曲 
Escher「艾薛爾的『藝數』新視界」四部曲  
Escher「艾薛爾的『藝數』新視界」五部曲  

『美麗星境界』名畫中的數學M.C.Escher的異想世界!

 

Escher外一章vs.藝數家

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