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Escher「艾薛爾的『藝數』新視界」五部曲

 小時「扣」環大時「拓」
記得國小低年級時,每逢開學的教室佈置,老師總要全班同學回家蒐集各式各樣的包裝紙。當老師裁成同寬的紙條後,所有的小朋友便一起幫忙黏貼,有些黏成紙環,彼此如鏈條般環環相扣,有些則逕自黏成更長的紙條,然後頭尾隨意地扭轉幾圈。當各紙串或紙條的兩端懸掛在公佈欄或氣窗上時,一個光鮮亮麗、五彩繽紛的彩虹教室已然完成。長大後,把這些教室佈置的動作「相加除二」時,竟成了大學數學中,拓樸學的一個趣味起點(圖一)。
(圖一)出現在電腦桌面背景圖案的莫比爾斯環。
 
面面俱到新體驗
一張長紙條原本有正反兩個面,黏成一個環柱之後,也還是有內外兩個面,但是,若先將一端翻轉180°才黏貼,則其結果將出人意料。這類紙環的相關研究首在德國數學家莫比爾斯(A. F. Möbius1790~1868)的遺稿中被發現,故後世皆尊稱為莫比爾斯帶(Möbius Band)或莫比爾斯環(以下簡稱莫氏環)。究竟此環有何巧妙?請備妥下列道具一同來體驗。
 
器材:長尺、剪刀、透明膠帶、彩色筆(紅、黑各一)、40 ×6公分的紙條數條。
步驟:1)取一紙條,用尺與紅筆在正反面中央各劃一條長虛線,並以O、X在虛線兩端畫上正反面的識別記號(圖二a)。
2)將紙條右端翻轉180°後讓正面的OO與反面的XX相鄰,然後用透明膠帶黏成紙環(圖二b)。



 
(圖二a)在紙條的兩面劃虛線並作記號       (圖二b)一端翻轉180°後黏成紙環
 
操作:a)從黏接處開始,用黑筆將紅虛線改畫成實線,一直畫到起點止。
            b)從黏接處開始,用剪刀沿著黑實線剪開,一直剪到起點止。
 
觀察:a)普通的紙環只能用黑筆在其外側或內側腰部畫一圈黑實線,但是莫氏環的這一圈黑實線卻「循環兩面」,也就是說,莫氏環上異常地只有一個面,且其長度是原來紙條的兩倍。
b)普通的紙環從腰部剪開後,會分開成兩個較窄的紙環,然而,莫氏環剪開後,卻意外地變成一個更大更窄的紙環,而且是一端翻轉720°、有兩面的大環。
 

「兩面一體」全都用
莫氏環「只有一個循環面」的拓樸學理論雖然讓人倍感意外,卻絲毫不減其實用價值。一般機具內部馬達的傳輸皮帶都只靠一面來傳動,當皮帶磨損或彈性疲乏時,便直接汰換。然而,對於一些大型機具而言,時常汰換的成本過高,因此,工程師便利用莫氏環這種「內外面合一」的特性,讓「兩面」同時循環。如此不僅可延緩皮帶磨損汰換的期程,還可避免皮帶因內外受力不均而彈性疲乏。至於其真實景象,讀者或可在《The Land Girls大地的女孩》電影中,約在影片播放到21分鐘附近時,一睹大型農具莫氏環傳輸帶的風采。
 
科普教育上層樓
除了實用性,莫氏環也讓科學家著迷。位在台中自然科學博物館南方的□□路口上,一個面部彩繪科博館Logo的「科學人」正手足舞蹈地搖著呼拉圈(圖三),值得注意的是,呼拉圈上還特地放著一顆鋼球,如果鋼球順著呼拉圈的溝軌滾呀滾地,其結果就與上述觀察a中「黑筆畫線」的操作一樣,所以這個呼拉圈別無其他,就是百分百的莫氏環。
 
               
(圖三)莫氏環化身成台中科博館標誌「科學人」腰上的呼拉圈
 
記得在國三的畢業旅行途中,筆者曾見科博館內以燈泡閃滅的動態設計,來突顯莫氏環「一個面」的循環特性,十五年後見此一大型雕塑的設置,也算是一種境界的提升與進步。至於遷館後的科學教育館,則是將莫氏環的設計化作火車軌道,此種模擬雲霄飛車的構想也堪稱一絕。
 

本「莫」倒置蟻乾坤
莫氏環如此另類的展現亦不乏藝術家的青睞,在新莊市公所的大門旁,便豎立著「扭轉乾坤」的公共藝術(圖四),雕塑家用循環不已的莫氏環取代象徵生生不息的太極流動圖案,其構想頗有新意。至於擅長操弄「空間變幻」的荷蘭版畫藝術家艾薛爾,則是直接將莫氏環當成作品主角(圖五),同時還貼心地將螞蟻刻畫其中,真是「畫中有話」。請仔細觀察並數數看,該隊螞蟻雄兵總共有幾隻?(解答詳見本刊第?頁)

 
(圖四)流線型的莫氏環成了公共藝術的創作取材(攝於新莊)




(圖五)Band van Möbius II(Moebius Band II,1963,木版畫,45 ×20 cm,攝自畫冊)
 

騎士無雙黑白影
艾薛爾早年還有多幅類似莫氏環的彩帶創作,其中的〈騎士〉結構(圖六)與莫氏環幾可亂真。艾薛爾在畫作中央大展其鑲補平面的手法,讓輪廓相同,但色彩與方向相異的隊伍巧妙地交織出完整的畫面。




(圖六)Ruiter(Horsemen,1946,木版畫,24 ×45 cm,攝自拼圖)
 
然而,若觀察兩旁騎士的隊伍,將發現原本在中央縱橫交錯的兩隊人馬,其實只是織帶上同一隊伍的正面與背面,也就是說,這條形似莫氏環的織帶仍保有正反雙面的本性。讀者可先取長紙條仿其結構黏貼,然後再畫線、剪環,看看與莫氏環的結果有何天壤之別?(詳見解答二)
 
在今年五月,遠哲趣味科學宅急便---發現科學與藝術的親密關係「非常有藝數」系列活動中,「吃裡扒外Möbius」的闖關設計除了莫氏環剪紙的體驗活動,還搭配〈騎士〉織帶結構的操作(圖七),磁環滑輪不斷循環的美妙感覺每每讓小朋友愛不釋手。
 
(圖七)新莊非常有藝數「類莫氏環」親體驗的闖關活動讓小朋友玩得不亦樂乎
 

你儂我儂小倆口
        除了〈騎士〉與莫氏環等的小變化,艾薛爾還有極其複雜的創作。在〈聯結〉(圖七)版畫中,一條沒有頭尾的繃帶環繞成人形。細觀左右男女繃帶的空間位置,其結構彼此獨立,卻又相連相扣,互補成一體,無怪乎近來出版的新書《□□□》,封面主角選上了它。若將畫中繃帶間的距離拉開,那結構即與雲霄飛車的軌道設計相同。順著繃帶滑滑看,〈聯結〉的繃帶究竟是一面還是兩面?(詳見解答三)
(圖八)Band(Bond of Union,1956,26 ×34 cm,攝自拼圖)。
 
創意思考變變變
「∞」是現今數學上用以代表無限大的符號,何以躺下來的「8」字型會等於無限大的代言人?關於這個問題,有人說是因為夢想無限,所以要用睡姿來象徵,也曾聽說「∞」的左右兩端原本不是兩個圓圈,而是象徵愛情的兩個心型,由於心心相映的愛情力量極其崇高偉大,故成了「∞」的原始意像。
 
姑且不論是夢想無限的「臥8」,還是浪漫無限的「心心」,茶餘飯後,聽賞無妨,不過,筆者到有一想,那「∞」的圖像,不就如同莫氏環的結構一樣,「兩面一體」而循環不已?有機會不妨多拿幾張紙條,多轉幾圈,多剪幾環,箇中變化的創意無限,莫氏環的神奇奧妙等您親體驗!(詳見解答四)
 
                                                   本文首載於遠哲科學教育基金會 發現月刊第100期<魔數專欄>93.12.1
 

【解答】
(一)在莫氏環上,九隻螞蟻頭尾相接,分不清究竟是誰帶隊,誰壓隊。
(二)「騎士環」的結構是將一端翻轉360°,黏貼後可使反面的OO與正面的OO相鄰。畫線後將發現該環仍保有兩個面(vs. 莫氏環只有一個面),而沿著腰部二分之一處的紅虛線剪開後,結果是兩個較窄的「騎士環」彼此相扣(vs. 莫氏環只得一個大環)。
(三)〈聯結〉的繃帶結構如同雲霄飛車的軌道,有兩面。艾薛爾尚有多幅與莫氏環有關的創作,請上網瀏覽欣賞http://www.mcescher.com/。
(四)翻轉數及剪開位置是莫氏環其他可探索的變化,如轉540°或改剪三分之一處(先用尺筆將紙條三等分),然後比較各種翻轉數及其不同剪開位置的結果,請讀者試之。
1.轉180°剪三分之一處得寬窄相同的大小兩環相扣,其轉圈數為1:4。
2.轉360°剪三分之一處得大小及轉圈數皆相同的兩環相扣,但寬窄為1:2。
3.轉540°剪二分之一處得打一結的大環;剪三分之一處得寬窄相同的大小兩環相扣,大環打有一結,小環轉540°。


相關文章連結:
Escher「艾薛爾的『藝數』新視界」首部曲  
Escher「艾薛爾的『藝數』新視界」二部曲  
Escher「艾薛爾的『藝數』新視界」三部曲 
Escher「艾薛爾的『藝數』新視界」四部曲  
Escher「艾薛爾的『藝數』新視界」五部曲  

『美麗星境界』名畫中的數學M.C.Escher的異想世界!

 

Escher外一章vs.藝數家

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